Дата на публикуване 05 сеп 2015 05:30 | от раздел 3. Забележителни прави
Допълнително построение Еднаквост Изразяване на ъгли Вписани четириъгълници
3.14
GeoGebra (.ggb) файлРешение:
Условие:
Даден е триъгълник ABC и точка D върху описаната му окръжност.
Да се докаже, че средата J на отсечката DH лежи на правата на Симсън за точката D и триъгълник ABC, където H е ортоцентърът на триъгълник ABC.
Алтернативно решение:
Нека N, L и M са петите на перпендикулярите от D към AC, AB и BC съответно. Тези три точки лежат на правата на Симсън за точка D. Ще докажем, че J лежи на същата права. Нека CG е височина в \triangle ABC и D' е симетричната на D относно точка L. Означаваме втората пресечна точка на CH и описаната окръжност около \triangle ABC с C'. От задача 4.1.1 следва, че G е среда на HC'.
Сега забелязваме, че четириъгълникът DC'HD' е равнобедрен трапец. Освен това, LJ е средна отсечка в \triangle DD'H. Сега имаме
[math][math]\angle DLJ=\angle DD'H=180^{\circ}-\angle DC'C=\angle DAN=\angle DLM.
Даден е триъгълник ABC и точка D върху описаната му окръжност.
Да се докаже, че средата J на отсечката DH лежи на правата на Симсън за точката D и триъгълник ABC, където H е ортоцентърът на триъгълник ABC.
Алтернативно решение:
Нека N, L и M са петите на перпендикулярите от D към AC, AB и BC съответно. Тези три точки лежат на правата на Симсън за точка D. Ще докажем, че J лежи на същата права. Нека CG е височина в \triangle ABC и D' е симетричната на D относно точка L. Означаваме втората пресечна точка на CH и описаната окръжност около \triangle ABC с C'. От задача 4.1.1 следва, че G е среда на HC'.
Сега забелязваме, че четириъгълникът DC'HD' е равнобедрен трапец. Освен това, LJ е средна отсечка в \triangle DD'H. Сега имаме
[math][math]\angle DLJ=\angle DD'H=180^{\circ}-\angle DC'C=\angle DAN=\angle DLM.
Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.
0 Коментари