Дата на публикуване 05 сеп 2015 09:29 | от раздел 4.1. Височини в триъгълник
Вписани четириъгълници Метрични зависимости Еднаквост Степен на точка
4.1.16
Решение:
Условие:
Даден е остроъгълен триъгълник ABC с височини AA_{1} и BB_{1}.
Построена е окръжност с диаметър AC, която пресича правата BB_{1} в точки P и M, като P е между B и M. Аналогично построяваме окръжност с диаметър BC, която пресича AA_{1} в точки N и Q, като N е между A и Q.
Да се докаже, че четириъгълникът MNPQ е вписан.
Забележка: При правоъгълен или тъпоъгълен триъгълник, горната конфигурация не съществува.
Алтернативно решение: Нека C_1\in AB е петата на височината, построена от върха C. Тогава C_1 лежи на окръжностите с диаметри AC и BC. Нека H е ортоцентърът на \triangle ABC. Знаем, че H\in CC_1.
От степен на точката H относно окръжността с диаметър AC получаваме HP.HM=HC.HC_1.
От степен на точката H относно окръжността с диаметър BC получаваме HQ.HN=HC.HC_1.
Заключваме, че HP.HM=HQ.HN=HC.HC_1 и първото равенство дава резултатът, че точките M, N, P и Q лежат на една окръжност.
Даден е остроъгълен триъгълник ABC с височини AA_{1} и BB_{1}.
Построена е окръжност с диаметър AC, която пресича правата BB_{1} в точки P и M, като P е между B и M. Аналогично построяваме окръжност с диаметър BC, която пресича AA_{1} в точки N и Q, като N е между A и Q.
Да се докаже, че четириъгълникът MNPQ е вписан.
Забележка: При правоъгълен или тъпоъгълен триъгълник, горната конфигурация не съществува.
Алтернативно решение: Нека C_1\in AB е петата на височината, построена от върха C. Тогава C_1 лежи на окръжностите с диаметри AC и BC. Нека H е ортоцентърът на \triangle ABC. Знаем, че H\in CC_1.
От степен на точката H относно окръжността с диаметър AC получаваме HP.HM=HC.HC_1.
От степен на точката H относно окръжността с диаметър BC получаваме HQ.HN=HC.HC_1.
Заключваме, че HP.HM=HQ.HN=HC.HC_1 и първото равенство дава резултатът, че точките M, N, P и Q лежат на една окръжност.
Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.
0 Коментари