Дата на публикуване 07 сеп 2015 04:20 | от раздел 4.11. Теореми с участие на фиксирани ъгли
Изразяване на ъгли Вписани четириъгълници
4.11. 4
GeoGebra (.ggb) файлРешение:
Условие:
Даден е триъгълник ABC, за който \angle ACB=60^{\circ}.
Нека AA_1\:(A_1\in BC) и BB_1\:(B_1\in AC) са височини в триъгълника, които се пресичат в точка H. Нека O е центърът на описаната окръжност около триъгълник ABC. Означаваме с P и Q пресечните точки на OH съответно с правите AC и BC.
Да се докаже, че \triangle PQC е равностранен.
Даден е триъгълник ABC, за който \angle ACB=60^{\circ}.
Нека AA_1\:(A_1\in BC) и BB_1\:(B_1\in AC) са височини в триъгълника, които се пресичат в точка H. Нека O е центърът на описаната окръжност около триъгълник ABC. Означаваме с P и Q пресечните точки на OH съответно с правите AC и BC.
Да се докаже, че \triangle PQC е равностранен.
Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.
1 Коментари
Тъй като CH = 2Rcos<ACB, то в случая CH = R = CO, т.е. <COH = <CHO. От друга страна, известно е, че CO и CH са изогонално спрегнати спрямо <ACB => <ACO = <BCH. Изваждайки последните две равенства и разглеждайки триъгълниците COP и CHQ, получаваме исканото.