Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 05 сеп 2015 23:48 | от раздел 4.2. Ортоцентър на триъгълник
Изразяване на ъгли Подобни триъгълници Радикална ос Полюс и поляра

4.2. 2

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Даден e триъгълник ABC с височини AA_{1} и BB_{1}, които се пресичат в точка H.

Нека D е пресечната точка на описаните около триъгълник ABC и \triangle A_{1}B_{1}C окръжности.

Да се докаже, че точките D, H и M лежат на една права, където M е средата на AB.

Алтернативно решение: В това алтернативно решение ще направим връзка между тази задача и задача 4.1.11.

Четириъгълниците ABA_1B_1 и A_1HB_1C са вписани, заради правите ъгли. Обаче D\in (A_1HB_1C) и D\in (ABC). Се да забележим, че правите AB, A_1B_1 и CD са радикалните оси на двойките окръжности (ABCD), (ABA_1B_1) и (A_1HB_1DC). Следователно тези три прави се пресичат в една точка или са успоредни. Ако са успоредни, то твърдението на аздачата е тривиално. В случай, че не са успоредни, следва, че тези прави имат обща точка X. Но очевидно HD\perp CX, защото \angle HDC=90^{\circ}. От задача 4.1.11 знаем, че MH\perp CX. Следователно HD\parallel MH, откъдето и получаваме исканата колинеарност.

Забележка: По обратния начин, задача 4.1.11 може да бъде решена, като се използва резултатът от тази задача.

0 Коментари



Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM