Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 05 сеп 2015 20:58 | от раздел 4.3. Ъглополовящи в триъгълник
Допълнително построение Радикална ос Метрични зависимости Отношения на отсечки Теорема на Талес Степен на точка Тригонометрия

4.3. 2

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Даден e триъгълник ABC, като C_1 и B_1 са петите на вътрешните ъглополовящи от C и B съответно.

Нека O е центърът на описаната за триъгълник ABC окръжност, а I_a е центърът на външновписаната окръжност срещу върха A.

Да се докаже, че OI_a\perp B_1C_1.


Алтернативно решение:

Ще използваме стандартните означения за \triangle ABC. Нека D\in AC е такава, че BD\bot CI_a и нека E\in AB е такава, че CE\bot BI_a. Оттук следва, че BC=CD=BE. От свойството на ъглополовящата получаваме
AB_2=\frac{bc}{a+c}
AC_2=\frac{bc}{a+b}
Сега от теоремата на Талес лесно следва, че B_2C_2\parallel DE. Ще докажем, че OI_a\bot DE.

Нека I_aH\bot DE, H\in DE. Нека k_1 е окръжността с диаметър I_aD, а k_2 е окръжността с диаметър I_aE. Следователно k_1\cap k_2=I_a,H. Трябва да докажем, че O принадлежи на радикалната ос на k_1 и k_2. Нека M и N са среди съответно на DI_a и EI_a.

Публикувано изображение

Имаме, че степента на O относно k_1 е равна на OM^2-DM^2, а степента на O относно k_2 е равна на ON^2-NE^2. Разглеждаме израза OM^2-ON^2-DM^2+NE^2=
=\frac{1}{4}(2OD^2+2OI_a^2-DI_a^2)-\frac{1}{4}(2OE^2+2OI_a^2-EI_a^2)-\frac{DI_a^2}{4}+\frac{EI_a^2}{4}=
=\frac{OD^2}{2}-\frac{DI_a^2}{2}-\frac{OE^2}{2}+\frac{EI_a^2}{2}
Ще докажем, че OD^2-DI_a^2-OE^2+EI_a^2=0.

Нека F,K са среди съответно на AB и AC. Нека външновписаната окръжност към BC допира AB в точка L и AC в точка P. Оттук лесно следват равенствата: OF=R\cos{\gamma}, \: OK=R\cos{\beta}, \: FE=\frac{c}{2}+a, \: KD=\frac{b}{2}+a, \: LE=p-b, \: DP=p-c, \: I_aL=I_aP=r_a.
\Rightarrow OD^2-DI_a^2-OE^2+EI_a^2=OK^2+KD^2-OF^2-FE^2+I_aL^2+LE^2-
-I_aP^2-PD^2=R^2(\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma})+(\frac{b}{2}+a)^2-(\frac{c}{2}+a)^2+(p- B)^2-(p-c)^2=
=R^2(\sin^2{\gamma}-\sin^2{\beta})+(b-c)(\frac{b+c}{4}+a)+(c-b)a=
=\frac{c^2-b^2}{4}+(b-c)(\frac{b+c}{4}+a)+(c-b)a=(c- B)(\frac{c+b}{4}-\frac{b+c}{4}-a+a)=0

0 Коментари



Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM