Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 30 авг 2015 00:31 | от раздел 4.5 Вписани окръжности
Тригонометрия

4.5.10

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Даден е триъгълник ABC.

Нека външновписаните окръжности срещу върховете B и A се допират до AB, BC и AC, както е показано на чертежа. Нека PE\cap MD=U и PQ\cap MN=F.

Да се докаже, че CF\bot AB и CU\bot AB.

1 Коментари

Използвайки означенията от Задача 4.5.8 имаме \angle NMS=\angle NMB-\angle SMB=(90^{\circ}-\frac{\beta}{2})-\frac{\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2} и \angle NI_bS=\angle NI_bC=\frac{\gamma}{2}=\angle NMS, следователно четириъгълникът MSNI_b е вписан и оттук \angle NSI_b=\angle NMI_b=\frac{\beta}{2}. Сега от сбор на ъгли в \triangle MPF намираме \angle NFS=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle BCS, откъдето четириъгълникът CSFN също е вписан \Rightarrow \angle NFC=\angle NSC=\frac{\beta}{2}, т.е. CF\perp AB. Най-накрая, тъй като MU и PU са височини в \triangle MPF, то точката U е негов ортоцентър, откъдето F и U лежат на височината през върха C, което трябваше да докажем.

    • 0


Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM