Условие:

Даден е четириъгълник ABCD, вписан в окръжност.

Нека AD\cap BC=E. Нека AC\cap BD=P. Нека M е средата на EP. Описаната окръжност около \triangle BPE пресича описаната около ABCD окръжност в точки B и X. Описаната окръжност около \triangle CPE пресича описаната около ABCD окръжност в точки C и Y.

Да се докаже, че точките A, X и M лежат на една права и че точките D, Y и M, лежат на една права.

Алтернативно решение:

Първо ще докажем една Лема. Тя гласи, че степента на точка M относно окръжността, описана около ABCD е равна на MP^2.

Ще използваме означенията от чертежа. Нека L е инверсно спрегнатата на P, относно описаната окръжност около ABCD. Тогава от теоремата на Брокар (задачи 4.8.24 и 4.8.25) имаме, че P е ортоцентър на \triangle FOE и освен това L\in FE, защото FE е полярата на точка P. Нека означим радиуса на описаната окръжност около ABCD с R. Имаме

R^2=OP.OL=MO^2-MP^2\Rightarrow MP^2=MO^2-R^2

Лемата е доказана.



Нека означим втората пресечната точка на MA и описаната окръжност около ABCD с X'. Тогава MX' \cdot MA = MP^2, откъдето \angle EPX' = \angle MAP = \angle X'BE.

Тогава четириъгълникът BPX'E е вписан и следователно X' \equiv X. Ако MD \cap k(ABCD) = {D, Y'}, то MD.MY'=MP^2 и \angle Y'PE=\angle MDP=\angle Y'CE и оттук следва, че Y' \equiv Y, защото четириъгълникът Y'PCE е вписан.