Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 07 сеп 2015 06:35 | от раздел 6.2. Около теоремата на Монж
Теорема за трите хомотетии Теорема на Менелай

6.2. 3&4

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Дадени са окръжностите k_1 (A), k_2 (B ) и k_3 (C ).

Нека X е външният (вътрешният) център на хомотетия за k_1 и k_3, Y е външният (вътрешният) център на хомотетия за k_2 и k_3 и Z е външният център на хомотетия за k_1 и k_2.

Да се докаже, че точките X, Y и Z лежат на една права.


Алтернативно решение:
Публикувано изображение

Тук ще представим едно нестандартно, но красиво решение на теоремата за трите хомотетии. Ще приложим подхода излизане в пространството. Ако трите центъра на окръжностите лежат на една права, задачата е тривиална. Първо да забележим, че ако намалим радиусите на окръжностите пропорционално (запазвайки центровете им), то външните им центрове на хомотетия се запазват. Така можем да направим окръжността с най-голям радиус произволно малка.

Сега да построим три сфери с центрове центровете на окръжностите и радиуси радиусите на окръжностите. Чрез намаляване на радиусите можем да направим така, че трите сфери да са непресичащи се и освен това да съществува равнина, която се допира и до трите сфери. Нека тази равнина пресича равнината на окръжностите в правата l. Сега лесно се вижда, че точките X, Y и Z лежат на l.

В задача 6.2.3 използваме равнината, която се допира до сферите от едно и също полупространство спрямо нея. В задача 6.2.4 използваме равнината, която се допира до две от сферите от едно и също полупространство и до третата от другото полупространство спрямо нея.

0 Коментари



Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM