Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 07 сеп 2015 07:12 | от раздел 7. Проективни теореми
Теорема на Пап Полюс и поляра Теорема на Менелай Отношения на отсечки

7. 3

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Върху една права са избрани точките A, B и C в този ред.

Върху друга са избрани точките D, E и F в този ред. Нека AE\cap BD=P, AF\cap CD=N и BF\cap CE=M.

Да се докаже, че точките P, N и M лежат на една права.

Решение на задача 7.3 в случая, когато двете начални прави са успоредни:

В книгата ''555 задачи по Геометрия'' предложеното решение на теоремата на Пап използва съществено, че двете прави от условието се пресичат. Тук ще дадем доказателство на теоремата в случая, когато те са успоредни.

Публикувано изображение

Нека MN\cap DE=L и NP\cap AB=K, както е показано на чертежа. Означаваме KA=x и FL=y. Ясно е, че ако докажем, че точките K, N и L лежат на една права, то оттам ще следва, че точките P, N и M лежат на една права. За целта е достатъчно да докажем, че
\frac{KA}{FL}=\frac{AN}{NF}.

Прилагаме два пъти теоремата на Менелай и получаваме
\begin{align*}
\dfrac{DL}{LE}\cdot \dfrac{EM}{MC}\cdot \dfrac{CN}{ND}&=1,\\
\dfrac{CK}{KB}\cdot \dfrac{BP}{PD}\cdot \dfrac{DN}{NC}&=1.
\end{align*}
Следователно
\begin{align*}
\dfrac{DF+y}{y+EF}\cdot \dfrac{EM}{MC}\cdot \dfrac{CN}{ND}&=1,\\
\dfrac{AC+x}{x+AB}\cdot \dfrac{BP}{PD}\cdot \dfrac{DN}{NC}&=1.
\end{align*}
Оттук изразяваме x и y и получаваме
\begin{align*}
x=\dfrac{AC.EF.AB}{DE.AC-DF.AB},\\
y=\dfrac{DF.EF.AB}{DF.BC-EF.AC}.
\end{align*}
Следователно
\dfrac{x}{y}=\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{AN}{NF}.

0 Коментари



Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM