Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube




Снимка

Теория на мярката и аксиомата на избора no.1

Публикувано от YanitsaPehova , 22 октомври 2014 · 1118 видяно

Това е поредица от (евентуално) четири поста, свързани с теория на мярката и аксиомата на избора. Ще се запознаем с аксиомата на избора, с понятието "мярка", ще построим неизмеримо множество от реални числа и ще ги свържем с известния парадокс на Банах-Тарски.

Този пост засяга аксиомата на избора.

На света има два вида математици: тези, които приемат аксиомата на избора, и тези, които не я приемат. Аксиомата на избора гласи следното:

Произведението на непразни множества е непразно.


Не сме казали какво по-точно е произведение на множества, и с цел тази статия да се събере в чаша кафе, ще го дефинирам с пример. Произведението на \mathbb{R} със себе си е \mathbb{R}^2=\{(a,b ):a,b\in\mathbb{R}\}, всички наредени двойки реални числа, или всички точки в равнината с две реални координати.

Аксиомата на избора има множество еквивалентни формулировки, измежду които най-неформалната и най-свързаната със следващите постове от тази поредица е следната:

Нека A_i са непразни множества. Тогава можем да изберем по един елемент от всяко множество.


Това е моментът, в който читателят започва да се съмнява в дълбочината на моите знания по математика и да се чуди защо въобще го занимавам с твърдения, които звучат толкова елементарни и очевидни. Това също е моментът, в който аз давам пример.

Нека A_x=\{x+n:n\in\mathbb{N}\}, където x\in[0,1), са множества от реални числа. На всяко реално число x между 0 и 1 съпоставяме множеството числа от вида x+n, където n е естествено число. Например A_{\sqrt{2}}=\{\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+2,\sqrt{2}+3,...\}. Тогава задачата да изберем по един елемент от всяко множество включва обхождане на всички реални числа в интервала [0,1). Според аксиомата на избора това е абсолютно възможно, но на практика, тъй като реалните числа са неизброимо множество, обхождането им не може да се случи по последователен и логичен начин (тук "последователен" означава "изброим"). За контраст, целите числа са изброимо множество, тъй като можем да съставим списък с всички цели числа: 0,1,-1,2,-2,3,-3 и т.н. и съответно можем последователно да съпоставяме и избираме неща, асоциирани с всяко цяло число.

Наличието на подобни парадокси и проблеми, породени от аксиомата на избора, кара доста математици да се замислят дали можем да вярваме на това твърдение или не. Макар че е аксиома, и съответно няма нужда да се доказва, аксиомата на избора стои на границата между логичното и нелогичното, между обоснованите и произволните твърдения. Добрата новина е, че голям брой от доказателствата от различни области на математиката, които използват аксиомата на избора, съществуват и във вариант, в който аксиомата не се използва.

Аз лично избирам да ѝ вярвам понеже ние, математиците, имаме свободата да дефинираме неща, които са ни полезни и удобни. В тази позиция, предпочитам свободата пред ограничението и наличието пред липсата.

  • 1



Февруари 2019

П В С Ч П С Н
    123
45678910
11121314151617
181920 21 222324
25262728   

Последни публикации

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM