Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube




Снимка

Прости числа (парти трик)

Публикувано от YanitsaPehova , 25 октомври 2014 · 1396 видяно

Съществуването на парти трикове на математическа тематика може да е под въпрос, но допускайки, че съществуват такива, то следният факт е определено един от тях.

Нека X е поредица от цифри. Тогава съществуват безкрайно много прости числа, съдържащи тази редица от цифри в десетичния си запис.


Наричаме го "парти трик", тъй като множество басове могат да бъдат спечелени с помощта на това, например "айде на бас че съществува просто число, което съдържа телефонния ти номер". Това разбира се е дискретен начин да научим телефонния номер на някоя привлекателна мадама, при все че тя е достатъчно любопитна. Отново, ситуацията, в която това се случва, е напълно хипотетична.

От математическа гледна точка, подобно нещо представлява интерес, тъй като доказателството му е много просто и сравнително необичайно.

Ще използваме следната теорема:

Сумата

\displaystyle\sum_{p\mbox{ просто}} \frac{1}{p}

е разходяща (т.е. \displaystyle\sum_{p}\frac{1}{p}=\infty).


Освен това ще опростим горния парти трик като вместо поредица от цифри разгледаме единична цифра (различна от нула). Аргументът, който ще използваме, сравнително лесно се обобщава и за повече цифри, но това е оставено за упражнение на читателя.

Доказателство:
Нека x=9 е дадената ни цифра (с цел да можем да даваме примери, избираме x еднозначно, но разбира се същото решение работи за всяка цифра). Нека разгледаме сумата


\displaystyle\sum_{"9"\not\in n} \frac{1}{n}


от реципрочните стойности на всички естествени числа, които не съдържат цифрата 9 в десетичния си запис. Обърнете внимание, че разглеждаме всички числа, а не само простите. Тогава нека a_k=\frac{1}{10^{k-1}}+\frac{1}{10^{k-1}+1}+...+\frac{1}{88...8} е сумата на всички дроби \frac{1}{n} за n между 10^{k-1} и 10^k-1=99...9, които не съдържат цифрата 9; затова в горната дефиниция последната дроб е \frac{1}{88...8}. Например,


a_1=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{8}


a_2=\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+...+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{88}


и т.н. Всички елементи в a_k са по-малки или равни на \frac{1}{10^{k-1}}, например в a_2 най-голямата дроб е \frac{1}{10}. Освен това във всяко a_k има по 8\times9^{k-1} събираеми. Защо? Защото от всички k-цифрени числа, за всяка цифра имаме по 9 възможности (всички цифри освен "9") и за първата имаме 8. В такъв случай можем да ограничим сумата по следния начин:

\displaystyle\sum_{"9"\not\in n} \frac{1}{n}\leq1\times8+\frac{1}{10}\times8\times9+...+\frac{1}{10^{k-1}}\times 8\times 9^{k-1}+...=

=8\times\left(\frac{9}{10}+\left(\frac{9}{10}\right)^2+...+\left(\frac{9}{10}\right)^{k-1}+...\right).


Тук всеки ученик, който е чувал за геометрична прогресия, подскача във възторг, тъй като знае на колко е равна горната сума. Нас обаче не ни интересува колко точно е резултатът, тъй като ние много грубо и безсрамно използвахме неравенства като \frac{1}{8}\leq1 и очевидно отговорът ни не е точен. Това, което ни интересува, е че отговорът е краен (т.е. е число, а не безкрайност). Тук идва противоречието:

Ако имаме краен брой прости числа, съдържащи цифрата "9", то тъй като простите числа са безкраен брой, то имаме безкрайно много, които не съдържат цифрата "9". В такъв случай сумата


\displaystyle\sum_{"9"\not\in p}\frac{1}{p}=\displaystyle\sum_{p}\frac{1}{p}-\displaystyle\sum_{"9"\in p}\frac{1}{p}=\infty-0=\infty


е безкрайна (с две думи ако от безкрайност извадим краен брой неща, все още имаме безкрайност).
Но със сигурност сумата на всички числа несъдържащи "9" е по-голяма от всички прости числа несъдържащи "9":

число \geq\displaystyle\sum_{"9"\not\in n} \frac{1}{n}\geq \displaystyle\sum_{"9"\not\in p}\frac{1}{p}=\infty


\Rightarrow крайно число \geq\infty.


Интересните идеи в това доказателство са две. Първо, използваме суми върху всички числа вместо суми върху всички прости числа; това може да ви се струва изключително грубо и неточно, но всъщност показва че имаме доста повече прости числа, отколкото ни изглежда на пръв поглед. Второ, от сумата \sum \frac{1}{n}, която е безкрайна, вадим всички числа, които не съдържат "9", по груба преценка 10% от тях, и някак си получаваме крайна сума. Причината това да се случва е всъщност че за големи стойности на n става все по-трудно и по-трудно да намерим число, което не съдържа "9" в десетичния си запис. Интуицията ни диктува друго, защото тя е свикнала да работи с малки числа като 100 и 1000, измежду които наистина сравнително малък процент съдържат "9", но колкото по-далеч отиваме, толкова повече този процент расте.

Many thanks to my supervisor, Mansur Boase, for showing me this fun little trick and also for expressing interest in this blog. :)

  • 1



Ноември 2017

П В С Ч П С Н
  12345
6789101112
1314151617 18 19
20212223242526
27282930   

Последни публикации

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM