VivaCognita
Guest

Тема на месец Януари 2018


Дадени са триъгълник АВС и три положителни числа a, b и с. На отсечката АВ отбелязваме точка А1, лежаща на разстояние a от върха А. На отсечката ВС отбелязваме точка В1, отстояща от В на разстояние b и, аналогично, на отсечката СА отбелязваме точка С1, която е на разстояние с от точка С (фиг. 1). Подлагаме новополучения триъгълник А1 В1 С1 на същата операция: намираме върху страните му такива точки А2, В2 и С2, че дължините на отсечките А1А2, В1В2 и С1С2 са съответно равни на a, b и с (Фиг. 2). По същия начин можем да построяваме и „следващите“ триъгълници А3В3С3, А4В4С4 и т.н.
Фиг.1 Фиг.2
Нека върховете на изходния триъгълник са в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12), а числата a, b и с са a=3, b=2 и с=2.

Задача 1. Намерете дължината на отсечката А1В1.
Запишете отговора с точност до стотните.

Задача 2. Намерете лицето на триъгълника А2В2С2.
Запишете отговора с точност до стотните.

Задача 3. При всяка следваща операция страните на новополучения триъгълник намаляват. Когато някоя от тях стане по-къса от съответното ѝ число, върху нея не може да се намери точка с исканите свойства и операцията прекъсва. Кое е най-голямото естествено число k,за което можете да построите триъгълник АkВkСk?
Запишете отговора с точност до единиците.

Задача 4. За намереното в Задача 3 естествено число k намерете обиколката (периметъра) на триъгълника АkВkСk.
Запишете отговора с точност до стотните

За да формулираме последната задача от темата, ще променим постановката на задачата. Три лъва А, В и С си играят, като се преследват взаимно. А преследва В, В преследва С и С преследва А. Скоростта на всеки от тях е съответно a, b и с метра в секунда, които те вземат на един скок. Всеки нов свой скок лъвовете насочват към мястото, където се намира преследваният от тях лъв в същия момент. Приликата с предишните четири задачи е очевидна. Има обаче и една съществена разлика. Ако разстоянието между лъв А и лъв В в края на един скок е по-малко от a, тогава следващата позиция на А не е от отсечката АВ, а е “зад В”, но на лъча с начало А и посока към В. Поради това ситуацията от Задача 3 не може да възникне и преследването може да продължи неограничено.

Задача 5. Нека в началния момент лъвовете са разположени в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12) и скоростите им са еднакви a=b=с= 3 метра в секунда. Намерете лицето на триъгълника с върхове – местата на лъвовете А, В и С в края на десетата секунда.
Запишете отговора с точност до стотните.
Забележка: За изследването на задачите можете да използвате следния помощен файл и, по специално, новосъздадения бутон (с гаечния ключ) в лентата с инструментите.
Помощен файл във формат GeoGebra.