Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
- - - - -
Дата на публикуване 05 сеп 2015 09:14 | от раздел 4.1. Височини в триъгълник
Подобни триъгълници Вписани четириъгълници Права на Симсън Комплексни числа Теорема на Микел

4.1. 4

download ggb GeoGebra (.ggb) файл

Решение:


Условие:

Даден е триъгълник ABC.

Нека точка P е произволна от малката дъга \widehat{AB} от описаната около триъгълник ABC окръжност. Нека проекциите на P върху AC и AB са X и Y съответно.

Нека M е средата на BC и N е средата на XY.

Да се докаже, че \angle PNM=90^{\circ}.

Първо алтернативно решение: Да забележим, че точката P съвпада с точката на Микел(вж. Задача 2.33) за четириъгълник XYBC. Можем да разгледаме въртяща хомотетия h с център P, такава, че h(X)=C и h(Y)=B. При тази въртяща хомотетия забелязваме, че h(N)=M. Заключваме, че \triangle PNM \sim \triangle PXC, откъдето получаваме, че \angle PNM=\angle PXC=90^{\circ}, с което задачата е решена.

Второ алтернативно решение: Да забележим, че \angle XCP=\angle ACP=\angle ABP=\angle YBP и освен това \angle PYB=\angle PXC=90^{\circ}. Тогава \triangle PXC\sim \triangle PYB и освен това P е общ връх и за двата, а M и N са средите съответно на отсечките XY и CB. Прилагаме задача 4.12.9 в частния случай, в който двата дадени триъгълника имат общ връх, и получаваме, че \triangle PXC\sim \triangle PNM и завършваме решението, както по-горе.

0 Коментари



Тази секция и съдържанието в нея са създадени като допълнение към книгата "555 задачи по геометрия" на С. Димитров, Л. Личев и С. Чобанов.
Авторите поемат пълна отговорност за съдържанието, коментарите и модерирането на дискусиите в секцията.

Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM