Към съдържанието

Viva Cognita at Facebook
Viva Cognita at Twitter
Viva Cognita at YouTube
Тема на месеца
VMath logo

Тема на януари 2018

Внимание! Аплетите към задачите (интерактивните помощни модели на условията - картинките към задачите, които ти помагат в решаването) в работния лист имат нужда от време, за да се заредят и покажат на екрана. Това време зависи от производителността на твоето устройство и може да бъде 10-50 секунди. Моля, изчакай да се заредят.

Дадени са триъгълник АВС и три положителни числа a, b и с. На отсечката АВ отбелязваме точка А1, лежаща на разстояние a от върха А. На отсечката ВС отбелязваме точка В1, отстояща от В на разстояние b и, аналогично, на отсечката СА отбелязваме точка С1, която е на разстояние с от точка С (фиг. 1).
 

Публикувано изображение

Фигура 1.

Подлагаме новополучения триъгълник А1 В1 С1 на същата операция: намираме върху страните му такива точки А2, В2 и С2, че дължините на отсечките А1А2, В1В2 и С1С2 са съответно равни на a, b и с (Фиг. 2). По същия начин можем да построяваме и „следващите“ триъгълници А3В3С3, А4В4С4 и т.н.
 

Публикувано изображение

Фигура 2.


Нека върховете на изходния триъгълник са в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12), а числата a, b и с са a=3, b=2 и с=2.

Задача 1. Намерете дължината на отсечката А1В1. Отговорът се търси с точност до стотните.
Задача 2. Намерете лицето на триъгълника А2В2С2. Отговорът се търси с точност до стотните.
Задача 3. При всяка следваща операция страните на новополучения триъгълник намаляват. Когато някоя от тях стане по-къса от съответното ѝ число, върху нея не може да се намери точка с исканите свойства и операцията прекъсва. Кое е най-голямото естествено число k,за което можете да построите триъгълник АkВkСk? Отговорът се търси с точност до единиците.
Задача 4.За намереното в Задача 3 естествено число k намерете обиколката (периметъра) на триъгълника АkВkСk. Отговорът се търси с точност до стотните.

За да формулираме последната задача от темата, ще променим постановката на задачата. Три лъва А, В и С си играят, като се преследват взаимно. А преследва В, В преследва С и С преследва А. Скоростта на всеки от тях е съответно a, b и с метра в секунда, които те вземат на един скок. Всеки нов свой скок лъвовете насочват към мястото, където се намира преследваният от тях лъв в същия момент. Приликата с предишните четири задачи е очевидна. Има обаче и една съществена разлика. Ако разстоянието между лъв А и лъв В в края на един скок е по-малко от a, тогава следващата позиция на А не е от отсечката АВ, а е “зад В“, но на лъча с начало А и посока към В. Поради това ситуацията от Задача 3 не може да възникне и преследването може да продължи неограничено.

Задача 5.Нека в началния момент лъвовете са разположени в точките А(0,0), В(15,0) и С(7,12) и скоростите им са еднакви a=b=с= 3 метра в секунда. Намерете лицето на триъгълника с върхове – местата на лъвовете А, В и С в края на десетата секунда. Отговорът се търси с точност до стотните.





Забележка: За изследването на задачите можете да използвате следния помощен файл и, по специално, новосъздадения голям бутон ("Инструмент 1") в лентата с инструментите.


 
Ако желаеш да участваш в месечното класиране, попълни твоите отговори тук.
Необходимо е да си влязъл в своя профил във Viva Cognita. Ако все още нямаш такъв - регистрирай се тук.

 

Други теми
  • Всеки месец ти даваме няколко задачи, обединени около обща тема
  • Реши задачите за забавление и за да упражниш знанията си
  • За улеснение ти даваме интерактивни аплети на GeoGebra, но можеш да ползваш и всички други помощни средства, които решиш, че ти трябват
  • Участвай със своите отговори в състезанието (изисква регистрация във Viva Cognita)
  • Печели всеки месец награди
Правила
Технически изисквания - тема на месеца
Лиса
Viva Cognita е партньорски проект на Института по математика и информатика на БАН, Съюза на математиците в България и VIVACOM